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Logik & Mathematik — Rätsel & Denksport

Warum eigentlich immer nur Dezimalzahlen?

Sicherlich kennen Sie die Symbolrätsel, die man häufig in Rätselheften findet.
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In einfachen Additions- und Subtraktionsaufgaben sind die Ziffern der vorkommenden Zahlen durch Symbole ersetzt. Gleiche Symbole bedeuten gleiche Ziffern, unterschiedliche Symbole sind unterschiedliche Ziffern und führende Nullen kommen nicht vor.

Aber warum findet man solche Rätsel immer nur für das Dezimalsystem, also für das Stellenwertsystem mit genau zehn Ziffern? Rechnen kann man doch auch im Oktalsystem, im System mit beispielsweise dreizehn oder mit sieben Ziffern. Deshalb zeigt die hier vorgestellte Rätselseite nicht nur Zahlenrätsel im Dezimalsystem, sondern auch in anderen Stellenwertsystemen:

Und warum immer ohne Nachkommastellen?

Die oben verlinkten Rätsel stellen nicht nur Aufgaben mit Addition und Subtraktion, sondern auch mit Multiplikation und Division. Die Division wird dabei in ihrer schriftlichen Form mit Nachkommastellen dargestellt.

Denn häufig wird vergessen, daß es selbstverständlich in allen Stellenwertsystemen auch Nachkommastellen gibt. Selbst moderne Taschenrechner, die zwischen Binär-, Oktal-, Dezimal- und Hexadezimaldarstellungen umrechnen können, zeigen in der Regel nur im Dezimalsystem Vorzeichen und Nachkommastellen an. Dabei kann man natürlich in allen Stellenwertsystemen mit gebrochenen Zahlen rechnen, und in allen Stellenwertsystemen lassen sich beispielsweise trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus berechnen oder Wurzeln ziehen.

Zahlendarstellung mit dem Werkzeug der Multiplikation

Die klassischen Zahlendarstellungen in Form von Stellenwertsystemen arbeiten mit dem Mittel der Addition: Jede Ziffer hat eine bestimmte Bedeutung (abhängig vom Ziffernwert und ihrer Position), und in der Summe erhält man die gesamte Zahl. Auch die römischen Zahlen funktionieren nicht viel anders, lediglich die Systematik der Ziffernwahl ist eine andere.

Die folgende Seite zeigt, daß man eine Zahlendarstellung auch auf Basis der Multiplikation aufbauen kann. Anstelle der fortlaufenden Ziffern mit festem additiven Abstand treten hier die Primzahlen, die die Ziffern dieses Systems bilden. Der Einfachheit halber wird in der Erklärung auf gebrochene Werte verzichtet, sondern die Menge der positiven ganzen Zahlen betrachtet:

Eine Zahlendarstellung auf der Basis von Primzahlen

Aus flachen Bildern Würfel zusammenfalten

Eine der wesentlichen Fähigkeit der menschlichen Intelligenz ist die Vorstellungskraft. Bei den Würfelrätseln geht es darum, sich aufgrund eines flachen Faltbildes den dreidimensionalen Würfel vorzustellen.

Um dann auch noch zu erkennen, ob Würfel mit anderen identisch sind oder nicht, muß Ihr räumliches Vorstellungsvermögen in der Lage sein, den Würfel als Objekt im dreidimensionalen Raum gedanklich zu drehen.

Wer sich Gedanken macht, ob man sich Räume mit vier oder mehr Raumdimensionen vorstellen kann, erfährt hier, daß es bereits sehr schwierig sein kann, dreidimensionale Objekte vor seinem inneren Auge zu betrachten. Gerade, wenn es bei den Unterschieden zwischen den verschiedenen Objekten um Details geht, kann man von der eigenen räumlichen Vorstellung durchaus auch mal fehlgeleitet werden.

Räumliches Vorstellungsvermögen – Würfelrätsel

Ein Irrgarten in Dreiecksform

Aus Sicht der Informationsverarbeitung kann man die Nachkommastellen einer Binärzahl als binären Entscheidungsbaum betrachten. Mit jeder einzelnen Ziffer wird das Intervall auf der Zahlengeraden, innerhalb dessen sich die Zahl befindet, exakt geteilt.

Ein Beispiel für einen binären Entscheidungsbaum ist auch der Irrgarten, der aus dreieckigen Elementen besteht. In jedem Schritt gibt es entweder die Möglichkeit, nach rechts oder nach links weiterzugehen (sofern dort keine Wand steht).

Würfelpoker – Würfelglück und Strategie kombinieren

Eigentlich ist Würfelpoker ein Oberbegriff für verschiedene dem Kartenspiel Poker ähnliche Würfelspiele. Doch es gibt keinen allgemeingültigen festen Begriff für das hier implementierte Würfelspiel, sondern lediglich verschiedene Markennamen von Spieleherstellern. Der US-Konzern Hasbro Inc (Hassenfeld Brothers) bezeichnet es als Yahtzee, der traditionsreiche Berliner Verlag Schmidt Spiele GmbH dagegen als Kniffel. Manchmal wird zur Bezeichnung auch die Kurzform Yatzy oder das Wort Pasch verwendet.

Bezüglich der benannten Würfelpoker-Varianten kommt es dem öffenen Würfelpoker, dem sogenannten Poker Dice, am nächsten. So wird es hier der Einfachheit halber als Würfelpoker bezeichnet. Gespielt wird mit fünf Würfeln in 13 Runden, die genauen Regeln können dem nachfolgend verlinkten PDF-Dokument entnommen werden.

Die hier implementierte Version ist an mobile Endgeräte (Handys, PDAs, etc. mit einer Displaybreite von 240 Pixel) angepaßt, so daß es auch unterwegs verwendet werden kann. Es kann zwischen drei Spielern A, B und C umgeschaltet werden. Der Server schlägt die für den jeweiligen Wurf möglichen Eintragungen auf dem Spielblatt in heller Schrift vor, durch Anklicken eines dieser Werte erfolgt die Notierung des angezeigten Wertes.

Genauso wie die andere hier vorgestellten Rätsel und Spiele kommt auch Würfelpoker völlig ohne lokale Programmausführung (also etwa Javascript, Java, ActiveX, Flash o.ä.) aus. Es gibt auch keine Session-IDs, Cookies o.ä., sondern der komplette Spielstatus ist in der jeweiligen Web-Adresse (URL) codiert. Das Protokoll HTTP wird also gemäß seinem Grundgedanken als zustandsloses Protokoll verwendet. Somit kann das Spiel jederzeit unterbrochen und später fortgesetzt werden, indem man auf die gerade aktuelle Adresse (URL) ein Lesezeichen setzt.

Sudoku: Rätsel mit Zahlen, aber ohne Mathematik?

Eine beliebte Rätselform, bei der zwar Zahlen vorkommen, aber überhaupt nicht gerechnet wird, ist Sudoku. Die Zahlen sind hier nur reine Symbole. Genauso könnte man auch Buchstaben verwenden oder Bilder. Es geht eben nicht um die Zahlen selbst, sondern um die Zusammenstellung der einzelnen Elemente, um ihre Kombination in Zeilen und Spalten. So handeln Sudoku-Rätsel zwar nicht vom Rechnen, aber von den Prinzipien der Logik – und auch das ist Mathematik:

Buchstabengitter: Begriffe wiedererkennen

Nicht das logische Denken, aber die schnelle Auffassungsgabe wird durch die Gitterrätsel trainiert: In einem Gitter aus Buchstaben können vorgegebene Begriffe in allen erdenklichen Richtungen enthalten sein, auch rückwärts. Es gilt, die vorgegebenen Begriffe alle wiederzufinden, um aus den übrig bleibenden Buchstaben das Lösungswort zu bilden.

Buchstabengitter mit beliebigen Wörtern

Deutsche Sprache mathematisch konstruiert

Wenn Menschen versuchen, unsinnige Texte zu erfinden, kommt meist nur halber Unsinn heraus. In dem bekannten Gedicht "Dunkel war's, der Mond schien helle", sind die einzelnen Bestandteile sinnvolle Teilsätze, erst der Zusammenhang ergibt den Unsinn. Läßt man dagegen Mathematiker heran, die die Grammatik wie ein Axiomensystem behandeln, die Wörter der deutsche Sprache klassifizieren, und dann gemäß dem Regelsystem der Grammatik beliebig Sätze, so kommt richtiger Unsinn ins Spiel. Dann heißt es nicht mehr "Der Mond scheint helle", sondern "Der Titel beendet das Bett", "Die Bauart pumpt das Unterfangen" oder "Das Guthaben reitet violett".

In dem Magazin "umlautfrei.de" ist der ganze Spaß wie eine Zeitung oder Zeitschrift aufgemacht - mit unterschiedlichen Rubriken, Klatsch & Tratsch, Horoskopen, Ratschlägen und sogar vermeintlich von Lesern eingeschickten Reportagen. Auch als PDF-Dokument zum Ausdrucken oder als RSS-Feed kann man sich den Nonsens auf den Rechner holen.

Kurt Kolben: Die Wahrheit über...

Mathematiker haben häufig einen skurrilen Humor. Das berühmte Buch "Alice im Wunderland" von dem britischen Mathematiker Charles Lutwidge Dodgson, der unter dem Pseudonym Lewis Caroll veröffentlichte, zeichnet eine skurrile und der Realität entfremdete Wirklichkeit, die Logiker fasziniert. Geradezu legendär ist die Affinität von Mathematikern und Informatikern zum Homor von Monty Python oder zu Douglas Adams, dem Schöpfer des Romans "Per Anhalter durch die Galaxis". Auch die folgenden Textbeiträge, die eine surreales und doch in sich logisches Abbildung der Wirklichkeit beschreiben, sind ein Ausdruck des für Mathematiker typischen Humors:


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